Différence entre nombres réels et entiers

Les mathématiciens ont mis au point des systèmes pour spécifier en quoi un certain nombre est différent d’un autre. Tout comme les autres concepts, les catégories de numéros se chevauchent. Comme les nombres réels incluent tous les nombres rationnels comme les nombres entiers, ils partagent des caractéristiques similaires, telles que l'utilisation de nombres entiers et leur tracé sur la droite numérique. Par conséquent, la principale différence est que les nombres réels constituent une classification générale, tandis que les entiers constituent un sous-ensemble caractérisé par des nombres entiers pouvant avoir des propriétés négatives..

Quels sont les vrais nombres?

Les nombres réels sont les valeurs que vous pouvez trouver sur la droite numérique, généralement exprimée sous la forme d'une ligne horizontale géométrique où un point choisi sert «d'origine». Ceux qui tombent à droite sont étiquetés comme positifs alors que ceux de gauche sont négatifs. La description "real" a été présentée par René Descartes, célèbre mathématicien et philosophe du XVIIe siècle. Il a particulièrement mis la différence entre les racines réelles des polynômes et leurs racines imaginaires.

Les nombres réels incluent les nombres entiers, entiers, naturels, rationnels et irrationnels:

• Des nombres entiers

Les nombres entiers sont des nombres positifs qui n'ont ni parties décimales ni points décimaux, car ils représentent des objets entiers sans fragments ni morceaux..

• Entiers

Les entiers sont des nombres entiers qui incluent le côté négatif de la droite numérique.

• Nombres naturels

Également appelé comptage des nombres, les nombres naturels ressemblent aux nombres entiers, mais zéro n'est pas inclus car rien ne peut être compté comme «0»..

• Nombres rationnels

En ce qui concerne ses origines, Pythagore, l'ancien mathématicien grec, a proclamé que tous les nombres étaient rationnels. Les nombres rationnels sont les quotients ou les fractions de deux entiers. Où p et q sont tous deux des entiers et q n'est pas équivalent à zéro, p / q est un nombre rationnel. Par exemple, 3/5 est un nombre rationnel mais 3/0 n'est pas.

• Nombres irrationnels

Hippasus, l'étudiant de Pythagore, n'était pas d'accord sur le fait que tous les chiffres étaient rationnels. Par la géométrie, il a prouvé que certains nombres étaient irrationnels. Par exemple, la racine carrée de deux, qui est 1,41, ne peut être exprimée sous forme de fraction; par conséquent, il est irrationnel. Malheureusement, l’actualité des nombres rationnels n’a pas été acceptée par les adeptes de Pythagore. Cela a eu pour conséquence que Hippasus s'est noyé en mer, ce qui aurait été une punition des dieux pendant cette période..

Que sont des entiers?

Du mot latin «entier», qui se traduit par «entier» ou «intact», ces nombres n'ont pas de composantes fractionnaires ou décimales comme les nombres entiers. Les nombres incluent les nombres naturels positifs ou les nombres de comptage et leurs négatifs. Par exemple, -3, -2, -1, 0, -1, 2, 3 sont des entiers. Les illustrations habituelles sont des nombres équidistants sur une ligne de nombres infinis avec zéro, qui n'est ni positif ni négatif, au centre. Par conséquent, les points positifs sont supérieurs aux points négatifs.

En ce qui concerne son historique, les comptes suivants décrivent comment les entiers ont été utilisés pour la première fois:

• En 200 av. les nombres négatifs ont d'abord été représentés avec des bâtonnets rouges dans la Chine ancienne.
• Vers 630 après J.-C., des nombres négatifs ont été utilisés pour représenter la dette en Inde..
• Arbermouth Holst, un mathématicien allemand a introduit les entiers en 1563 en tant que système en plus et multiplication. Il a développé le système en réponse au nombre croissant de lapins et d’éléphants qu’il expérimentait sur.

Voici les caractéristiques des entiers:

• Positif

Les chiffres à droite de la droite des chiffres sont positifs et représentent souvent la valeur supérieure de leurs équivalents négatifs..

• Négatif

Les nombres situés à gauche de la droite numérique sont souvent considérés comme la valeur standard inférieure de leurs équivalents positifs..

• Neutre

Le centre de la droite numérique, zéro est le nombre entier qui n'est ni positif ni négatif.

• Pas de fragments

Comme les nombres entiers, les nombres entiers n'ont pas de point décimal ni de fractions.

Différence entre nombres réels et entiers

Portée des nombres réels et entiers

Les nombres réels comprennent les nombres entiers, les nombres rationnels, irrationnels, naturels et entiers. D'autre part, le domaine des nombres entiers concerne principalement les nombres entiers négatifs et positifs. Par conséquent, les nombres réels sont plus généraux.

Les fractions

Les nombres réels peuvent inclure des fractions telles que des nombres rationnels et irrationnels. Cependant, les fractions ne peuvent pas être des entiers.

Propriété de la limite supérieure

Les nombres réels ont la propriété la moins-supérieure-liée, aussi appelée «complétude». Cela signifie qu'un ensemble linéaire de nombres réels a des sous-ensembles dotés de qualités supremum. Au contraire, les entiers n'ont pas la propriété la plus petite..

Propriété archimédienne

La propriété Archimedean, qui suppose qu'il existe un nombre naturel égal ou supérieur à tout nombre réel, peut être appliquée aux nombres réels. Au contraire, la propriété Archimedean ne peut pas être appliquée à des entiers.

Champ

Les nombres réels sont une sorte de champ qui est une structure algébrique essentielle dans laquelle les processus arithmétiques sont définis. Au contraire, les entiers ne sont pas considérés comme un champ.

Dénombrable

Ensemble, les nombres réels sont indénombrables, tandis que les entiers sont dénombrables..

Symboles de nombres réels et entiers

Les nombres réels sont symbolisés par «R» tandis qu'un ensemble d'entiers est symbolisé par «Z». N. Bourbaki, un groupe de mathématiciens français des années 1930, spécifia «Z» dans le mot allemand «Zahlen» qui signifie nombre ou nombres entiers..

Origine du mot pour les nombres réels et les entiers

Les nombres réels désignent les racines réelles d'un polynôme, tandis que l'entier provient du mot latin «entier», car ils n'incluent ni décimales ni fractions..

Chiffres réels vs nombres entiers

Résumé des nombres réels par rapport aux nombres entiers

• Les nombres réels et les nombres entiers peuvent être tracés sur la droite numérique.
• Entiers est un sous-ensemble de nombres réels.
• Les entiers ont des nombres négatifs.
• Ensemble, les nombres réels ont une portée plus générale par rapport aux nombres entiers.
• Contrairement aux nombres entiers, les nombres réels peuvent inclure des fractions et des points décimaux.
• Les propriétés du moins lié, de l'Archimède et du champ sont généralement applicables aux nombres réels, mais pas aux nombres entiers.
• Contrairement aux nombres réels, les nombres entiers sont strictement dénombrables.
• "R" représente des nombres réels tandis que "Z" est des nombres entiers.