Différence entre les séries arithmétiques et géométriques

Série arithmétique vs géométrique
 

La définition mathématique d'une série est étroitement liée aux séquences. Une séquence est un ensemble ordonné de nombres et peut être un ensemble fini ou infini. Une séquence de nombres avec la différence entre deux éléments constituant une constante est appelée progression arithmétique. Une séquence avec un quotient constant de deux nombres successifs est appelée progression géométrique. Ces progressions peuvent être finies ou infinies, et si elles sont finies, le nombre de termes est dénombrable, sinon indénombrable..

Généralement, la somme des éléments d'une progression peut être définie comme une série. La somme d'une progression arithmétique est connue sous le nom de série arithmétique. De même, la somme d’une progression géométrique est appelée série géométrique..

En savoir plus sur la série Arithmetic

Dans une série arithmétique, les termes successifs ont une différence constante.

S_n = un₁ + une₂ + une₃ + une₄ +⋯ + a_n =ⁿ_{i = 1} une_je ; où un₂ = un₁ + d, a₃ = un₂ + d, et ainsi de suite.

Cette différence d est connue sous le nom de différence commune et le n^th terme est donné par un_n = un₁+ (n-1) d; où un₁ est le premier terme.

Le comportement de la série change en fonction de la différence commune d. Si la différence commune est positive, la progression tend à devenir l'infini positif et si la différence commune est négative, elle tend vers l'infini négatif..

La somme des séries peut être obtenue à l'aide de la formule simple suivante, qui a été développée par l'astronome et mathématicien indien Aryabhata..

S_n = n / 2 (a₁+ une_n ) = n / 2 [2a₁ + (n-1) d]

La somme S_n peut être fini ou infini, basé sur le nombre de termes.

En savoir plus sur la série géométrique

Une série géométrique est une série avec le quotient des nombres successifs constants. C'est une série importante trouvée dans l'étude de la série, en raison des propriétés qu'elle possède.

S_n = ar + ar² + ar³ ++ Arⁿ =ⁿ_{i = 1} ar^je

Sur la base du ratio r, le comportement de la série peut être classé comme suit. r = | r | ≥1 série diverge; la série r≤1 converge. Aussi, si r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.

La somme des séries géométriques peut être calculée à l'aide de la formule suivante. S_n = a (1-rⁿ) / (1-r); où a est le terme initial et r le rapport. Si le rapport r≤1, la série converge. Pour une série infinie, la valeur de convergence est donnée par S_n= a / (1-r).

Les séries géométriques ont de nombreuses applications dans les domaines des sciences physiques, de l'ingénierie et de l'économie

Quelle est la différence entre les séries arithmétique et géométrique?

• Une série arithmétique est une série avec une différence constante entre deux termes adjacents.

• Une série géométrique est une série à quotient constant entre deux termes successifs.

• Toutes les séries arithmétiques infinies sont toujours divergentes, mais selon le rapport, les séries géométriques peuvent être convergentes ou divergentes..

• La série géométrique peut avoir une oscillation dans les valeurs; c'est-à-dire que les nombres changent leurs signes alternativement, mais la série arithmétique ne peut pas avoir d'oscillations.