Différence entre la séquence arithmétique et la séquence géométrique

Séquence arithmétique vs séquence géométrique
 

L'étude des modèles de nombres et de leur comportement est une étude importante dans le domaine des mathématiques. Souvent, ces modèles peuvent être vus dans la nature et nous aident à expliquer leur comportement d'un point de vue scientifique. Les séquences arithmétiques et les séquences géométriques sont deux des modèles de base qui se produisent en nombre, et se retrouvent souvent dans les phénomènes naturels.

La séquence est un ensemble de nombres ordonnés. Le nombre d'éléments dans la séquence peut être fini ou infini.

En savoir plus sur la séquence arithmétique (progression arithmétique)

Une séquence arithmétique est définie comme une séquence de nombres avec une différence constante entre chaque terme consécutif. Il est également connu sous le nom de progression arithmétique.

Séquence arithmétique ⇒ a₁, une₂, une_3, une₄,… , une_n ; où un₂ = un₁ + d, a₃ = un₂ + d, et ainsi de suite.

Si le terme initial est un₁ et la différence commune est d, alors le n^th le terme de la séquence est donné par;

une_n = un₁ + (n-1) d

En prenant le résultat ci-dessus plus loin, le n^th terme peut être donné aussi comme;

une_n = un_m + (n-m) d, où un_m est un terme aléatoire dans la suite tel que n> m.

L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs sont les exemples les plus simples de séquences arithmétiques, chaque séquence ayant une différence commune (d) de 2.

Le nombre de termes dans une séquence peut être infini ou fini. Dans le cas infini (n → ∞), la séquence tend vers l’infini en fonction de la différence commune (a_n → ± ∞). Si la différence commune est positive (d> 0), la séquence tend vers l'infini positif et, si la différence commune est négative (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.

La somme des termes de la suite arithmétique est connue sous le nom de série arithmétique: S_n= un₁ + une₂ + une₃ + une₄ + ⋯ + a_n =_{i = 1 → n} une_je; et S_n = (n / 2) (a₁ + une_n) = (n / 2) [2a₁ + (n-1) d] donne la valeur de la série (S_n).

En savoir plus sur la séquence géométrique (progression géométrique)

Une séquence géométrique est définie comme une séquence dans laquelle le quotient de deux termes consécutifs quelconques est une constante. Ceci est également connu sous le nom de progression géométrique.

Séquence géométrique ⇒ a₁, une₂, une₃, une₄,… , une_n; où un₂/une₁ = r, a₃/une₂ = r, et ainsi de suite, où r est un nombre réel.

Il est plus facile de représenter la séquence géométrique en utilisant le rapport commun (r) et le terme initial (a). D'où la suite géométrique ⇒ a₁, une₁r, a₁r², une₁r³,… , une₁r^n-1.

La forme générale du n^th termes donnés par un_n = un₁r^n-1. (Perte de l'indice du terme initial ⇒ a_n = ar^n-1)

La séquence géométrique peut aussi être finie ou infinie. Si le nombre de termes est fini, la séquence est dite finie. Et si les termes sont infinis, la séquence peut être infinie ou finie en fonction du rapport r. Le rapport commun affecte de nombreuses propriétés dans les séquences géométriques. 

r> o	0 < r < +1	La séquence converge - décroissance exponentielle, c’est-à-dire unn → 0, n →
	r = 1	Séquence constante, c'est-à-dire an = constante
	r> 1	La séquence diverge - croissance exponentielle, c’est-à-dire unen →, n →
r < 0	-1 < r < 0	La séquence oscille mais converge
	r = 1	La séquence est alternante et constante, c’est-à-dire unen = ± constante
	r < -1	La séquence est en alternance et diverge. c'est-à-dire unn → ± ∞, n →
r = 0	La séquence est une chaîne de zéros

N.B: Dans tous les cas ci-dessus, un₁ > 0; si un₁ < 0, the signs related to a_n sera inversé.

L'intervalle de temps entre les rebonds d'une balle suit une séquence géométrique dans le modèle idéal, et il s'agit d'une séquence convergente..

La somme des termes de la séquence géométrique est connue sous le nom de série géométrique; S_n = ar + ar² + ar³ + + Arⁿ =_{i = 1 → n} ar^je. La somme des séries géométriques peut être calculée à l'aide de la formule suivante.

S_n = a (1-rⁿ ) / (1-r); où a est le terme initial et r le rapport.

Si le rapport, r ≤ 1, la série converge. Pour une série infinie, la valeur de convergence est donnée par S_n = a / (1-r) 

Quelle est la différence entre l’arithmétique et la séquence / progression géométrique?

• Dans une séquence arithmétique, deux termes consécutifs quelconques ont une différence commune (d) alors que, dans une séquence géométrique, deux termes consécutifs quelconques ont un quotient constant (r)..

• Dans une séquence arithmétique, la variation des termes est linéaire, c'est-à-dire qu'une ligne droite peut être tracée en passant par tous les points. Dans une série géométrique, la variation est exponentielle. soit en croissance ou en décomposition sur la base du ratio commun.

• Toutes les suites arithmétiques infinies sont divergentes, alors que les séries géométriques infinies peuvent être divergentes ou convergentes..

• La série géométrique peut afficher une oscillation si le rapport r est négatif alors que la série arithmétique n’affiche pas d’oscillation.