Différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires

Equations différentielles linéaires vs non linéaires
 

Une équation contenant au moins un coefficient différentiel ou une dérivée d'une variable inconnue est appelée équation différentielle. Une équation différentielle peut être linéaire ou non linéaire. Le but de cet article est d'expliquer ce qu'est l'équation différentielle linéaire, ce qu'est l'équation différentielle non linéaire et quelle est la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires..

Depuis le développement du calcul au 18ème siècle par des mathématiciens comme Newton et Leibnitz, l’équation différentielle a joué un rôle important dans l’histoire des mathématiques. Les équations différentielles revêtent une grande importance en mathématiques en raison de leur domaine d'application. Les équations différentielles sont au cœur de chaque modèle que nous développons pour expliquer tout scénario ou événement du monde, que ce soit en physique, en ingénierie, en chimie, en statistique, en analyse financière ou en biologie (la liste est interminable). En fait, jusqu'à ce que le calcul devienne une théorie établie, aucun outil mathématique approprié n'était disponible pour analyser les problèmes intéressants de la nature..

Les équations résultantes d'une application spécifique du calcul peuvent être très complexes et parfois impossibles à résoudre. Cependant, il y a des problèmes que nous pouvons résoudre, mais qui peuvent sembler identiques et déroutants. Par conséquent, pour faciliter l'identification, les équations différentielles sont classées par leur comportement mathématique. Linéaire et non linéaire est l'une de ces catégories. Il est important d'identifier la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire??

Supposer que f: X → Y et f (x) = y, a équation différentielle sans termes non linéaires de la fonction inconnue y et ses dérivés est connu comme une équation différentielle linéaire.

Il impose la condition que y ne puisse pas avoir des termes d'index plus élevés tels que y², y³,… Et des multiples de dérivés tels que 

Il ne peut pas non plus contenir des termes non linéaires tels que Sin y, e^{y^ -2}, ou ln y. Il prend la forme, 

où y et g sont des fonctions de X. L'équation est une équation différentielle d'ordre n, qui est l'indice de la dérivée d'ordre le plus élevé.

Dans une équation différentielle linéaire, l'opérateur différentiel est un opérateur linéaire et les solutions forment un espace vectoriel. En raison de la nature linéaire de l'ensemble de solutions, une combinaison linéaire des solutions constitue également une solution à l'équation différentielle. C'est, si y₁ et y₂ sont des solutions de l'équation différentielle, alors C₁ y₁+ C₂ y₂ est aussi une solution.

La linéarité de l'équation n'est qu'un paramètre de la classification et peut être subdivisée en équations homogènes ou non homogènes et en équations différentielles ordinaires ou partielles. Si la fonction est g= 0 alors l'équation est une équation différentielle homogène linéaire. Si F est une fonction de deux ou plusieurs variables indépendantes (f: X, T → Y) et f (x, t) = y , alors l'équation est une équation différentielle partielle linéaire.

La méthode de résolution pour l’équation différentielle dépend du type et des coefficients de l’équation différentielle. Le cas le plus facile se présente lorsque les coefficients sont constants. L'exemple classique de ce cas est la deuxième loi du mouvement de Newton et ses diverses applications. La seconde loi de Newton produit une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle non linéaire??

Les équations contenant des termes non linéaires sont appelées équations différentielles non linéaires..

 

Toutes les réponses ci-dessus sont des équations différentielles non linéaires. Les équations différentielles non linéaires sont difficiles à résoudre. Par conséquent, une étude minutieuse est nécessaire pour obtenir une solution correcte. En cas d'équations différentielles partielles, la plupart des équations n'ont pas de solution générale. Par conséquent, chaque équation doit être traitée indépendamment.

L'équation de Navier-Stokes et l'équation d'Euler en dynamique des fluides, les équations de champ de la relativité générale d'Einstein sont des équations aux dérivées partielles non linéaires bien connues. Parfois, l’application de l’équation de Lagrange à un système variable peut conduire à un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires.

Quelle est la différence entre les équations différentielles linéaires et non linéaires?

• Une équation différentielle, qui ne contient que les termes linéaires de la variable inconnue ou dépendante et ses dérivés, est appelée équation différentielle linéaire. Il n'a pas de terme avec la variable dépendante d'index supérieur à 1 et ne contient aucun multiple de ses dérivés. Il ne peut pas avoir de fonctions non linéaires telles que des fonctions trigonométriques, des fonctions exponentielles et des fonctions logarithmiques par rapport à la variable dépendante. Toute équation différentielle contenant les termes mentionnés ci-dessus est une équation différentielle non linéaire.

• Les solutions d’équations différentielles linéaires créent un espace vectoriel et l’opérateur différentiel est également un opérateur linéaire dans l’espace vectoriel..

• Les solutions d'équations différentielles linéaires sont relativement plus faciles et des solutions générales existent. Pour les équations non linéaires, dans la plupart des cas, la solution générale n'existe pas et la solution peut être spécifique à un problème. Cela rend la solution beaucoup plus difficile que les équations linéaires.