Différence entre orthogonal et orthonormal

Orthogonal vs Orthonormal

En mathématiques, les deux mots orthogonal et orthonormal sont fréquemment utilisés avec un ensemble de vecteurs. Ici, le terme «vecteur» est utilisé en ce sens qu'il est un élément d'un espace vectoriel - une structure algébrique utilisée dans l'algèbre linéaire. Pour notre discussion, nous allons considérer un espace de produit interne - un espace vectoriel V avec un produit intérieur [] défini sur V.

Par exemple, pour un produit interne, l'espace est l'ensemble des vecteurs de position tridimensionnels ainsi que le produit scalaire habituel..

Quel est orthogonal?

Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit interne V est dit orthogonal, si et seulement si pour chacun distinct u, v dans S, [u, v] = 0; c'est-à-dire le produit intérieur de vous et v est égal au zéro scalaire dans l'espace produit interne.

Par exemple, dans l’ensemble des vecteurs de position tridimensionnels, cela revient à dire que, pour chaque paire distincte de vecteurs de position p et q en S, p et q sont perpendiculaires les uns aux autres. (Rappelez-vous que le produit intérieur de cet espace vectoriel est le produit scalaire. De plus, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à 0 si et seulement si les deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre.)

Considérez l'ensemble S = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), qui est un sous-ensemble des vecteurs de position à 3 dimensions. Observez que (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0).(0,0,5) = 0. D'où l'ensemble S est orthogonal. En particulier, deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit interne est 0. Par conséquent, chaque paire de vecteurs de Sest orthogonal.

Quel est orthonormé?

Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit interne V est dit orthonormé si et seulement si S est orthogonal et pour chaque vecteur vous dans S, [u, u] = 1. Par conséquent, on peut voir que chaque ensemble orthonormal est orthogonal mais pas l'inverse.

Par exemple, dans l’ensemble des vecteurs de position tridimensionnels, cela revient à dire que, pour chaque paire distincte de vecteurs de position p et q dans S, p et q sont perpendiculaires les uns aux autres, et pour chaque p dans S, | p | = 1. C'est parce que la condition [p, p] = 1 réduit à p.p = | p || p |cos0 = | p |²= 1, ce qui équivaut à | p | = 1. Par conséquent, étant donné un ensemble orthogonal, nous pouvons toujours former un ensemble orthonormé correspondant en divisant chaque vecteur par sa magnitude..

T = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) est un sous-ensemble orthonormé de l'ensemble des vecteurs de position à 3 dimensions. Il est facile de voir qu'il a été obtenu en divisant chacun des vecteurs de l'ensemble S, par leurs magnitudes.

Quelle est la différence entre orthogonal et orthonormé?

• Un sous-ensemble non vide S d'un espace produit interne V est dit orthogonal, si et seulement si, pour chacun distinct u, v dans S, [u, v] = 0. Cependant, il est orthonormé, si et seulement si une condition supplémentaire - pour chaque vecteur vous dans S, [u, u] = 1 est satisfait.
• Tout ensemble orthonormé est orthogonal mais pas l'inverse..
• Tout ensemble orthogonal correspond à un ensemble orthonormé unique, mais un ensemble orthonormé peut correspondre à de nombreux ensembles orthogonaux..