Différence entre les séries Power et Taylor

Série Power vs Série Taylor

En mathématiques, une séquence réelle est une liste ordonnée de nombres réels. Formellement, c'est une fonction de l'ensemble des nombres naturels à l'ensemble des nombres réels. Si une_nest alors^th terme d'une séquence, on note la séquence par ou par une₁, une₂,… ,une_n,… .Par exemple, considérons la séquence 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,… On peut le nommer 1 / n.

Il est possible de définir une série à l'aide de séquences. Une série est la somme des termes d'une séquence. Par conséquent, pour chaque séquence, il existe une séquence associée et inversement. Si un_n est la séquence considérée, la série formée par cette séquence peut être représentée par:                                           

 Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, la série associée est 1+¹/₂+¹/₃+…  + ¹/_n +… . 

Comme le suggèrent leurs noms, la série power est un type de série spécial. Elle est largement utilisée dans l'analyse numérique et la modélisation mathématique associée. La série Taylor est une série spéciale de puissances offrant un moyen alternatif et facile à manipuler de représenter des fonctions bien connues..

Quelle est la série Power?

Une série de puissance est une série de la forme

    

qui est convergent (éventuellement) pour un intervalle centré à c. Les coefficients une_n peuvent être des nombres réels ou complexes, et est indépendant de X; c'est à dire. la variable muette.

Par exemple, en définissant une_n= 1 pour chaque n, et c = 0, la série de puissance 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Est obtenu. Il est facile de constater que lorsque x ε (-1,1), cette série de puissances converge vers 1 / (1-x).          

Une série de puissance converge quand X = c. Les autres valeurs de X pour lequel la série de puissance converge prendra toujours la forme d’un intervalle ouvert centré à c. C'est, il y aura une valeur 0≤ R ≤ ∞ tel que pour chaque X satisfaisant | x-c | ≤R, la série de puissance est convergente et pour chaque X  satisfaisant | x-c |>R, la série power est divergente. Cette valeur R est appelé rayon de convergence des séries de puissance (R peut prendre toute valeur réelle ou infini positif).

Les séries de puissance peuvent être ajoutées, soustraites, multipliées et divisées à l'aide des règles suivantes. Considérez les deux séries de puissance:       

   

                               .

ensuite,                 

c'est à dire. des termes similaires sont ajoutés ou soustraits ensemble. En outre, il est possible de multiplier et diviser les deux séries de puissance en utilisant l’identité,

Quelle est la série de Taylor?

La série de Taylor est définie pour une fonction F(X) qui est infiniment différentiable sur un intervalle. Assumer F(X) est différentiable sur un intervalle centré à c. Puis la série de puissance qui est donnée par

                                                                                                                                

est appelé l'expansion de la série de Taylor de la fonction F(X) sur c. (Ici F⁽ⁿ⁾(c) Désigne le n^th dérivé à X = c). Dans l'analyse numérique, un nombre fini de termes dans cette expansion infinie sont utilisés dans le calcul des valeurs en des points où la série est convergente vers la fonction d'origine.

Une fonction F(X) est dit analytique dans l'intervalle (un B), si pour chaque x ε (a, b), la série de Taylor de F(X) converge vers la fonction F(X). Par exemple, 1 / (1-x) est analytique sur (-1,1), depuis son expansion de Taylor 1 + x + x²+… + Xⁿ+… Converge vers la fonction sur cet intervalle, et e^X  est analytique partout, depuis la série de Taylor e^Xconverge vers e^X pour chaque nombre réel X.

Quelle est la différence entre les séries Power et Taylor?

1. La série de Taylor est une classe spéciale de séries de puissance définies uniquement pour les fonctions infiniment différentiables sur un intervalle ouvert..

2. Les séries de Taylor prennent la forme spéciale

        

alors qu'une série de puissance peut être n'importe quelle série de la forme