Différence entre Riemann Integral et Lebesgue Integral

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

L'intégration est un sujet principal du calcul. Dans un sens plus obscur, l'intégration peut être considérée comme le processus inverse de la différenciation. Lors de la modélisation de problèmes réels, il est facile d'écrire des expressions impliquant des dérivés. Dans une telle situation, l’opération d’intégration est nécessaire pour trouver la fonction, ce qui a donné à son dérivé particulier.

Sous un autre angle, l’intégration est un processus qui résume le produit d’une fonction ƒ (x) et δx, où δx tend à être une certaine limite. C'est pourquoi nous utilisons le symbole d'intégration comme as. Le symbole ∫ est en fait ce que nous obtenons en étirant la lettre s pour désigner la somme.

Riemann Integral

Considérons une fonction y = ƒ (x). L'intégrale de y entre une et b, où une et b appartenir à un ensemble x, est écrit comme _b∫^uneƒ (x) dx = [F(X)]_une→b = F(b) - F(une). Ceci est appelé une intégrale définie de la fonction unique et continue y = ƒ (x) entre a et b. Cela donne l’aire sous la courbe entre une et b. Ceci s'appelle également l'intégrale de Riemann. Riemann integral a été créé par Bernhard Riemann. L'intégrale de Riemann d'une fonction continue est basée sur la mesure de Jordan; elle est donc également définie comme la limite des sommes de Riemann de la fonction. Pour une fonction réelle définie dans un intervalle fermé, l'intégrale de Riemann de la fonction par rapport à une partition x₁, X₂,… , X_n défini sur l'intervalle [a, b] et t₁, t₂,…, T_n, où x_je ≤ t_je ≤ x_{i + 1} pour chaque i ε 1, 2,…, n, la somme de Riemann est définie par_{i = o à n-1} ƒ (t_je)(X_{i + 1} - X_je).

Lebesgue Integral

Lebesgue est un autre type d'intégrale, qui couvre une grande variété de cas que l'intégrale de Riemann. L'intégrale de Lebesgue a été introduite par Henri Lebesgue en 1902. L'intégration de Legesgue peut être considérée comme une généralisation de l'intégration de Riemann..

Pourquoi avons-nous besoin d'étudier une autre intégrale?

Considérons la fonction caractéristique ƒ_{A (x) = 0 si, x pas ε A}^{1 si, x ε A} sur un ensemble A. Puis combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques, définie comme F(x) = Σ a_jeƒE_je(x) est appelée la fonction simple si E_je est mesurable pour chaque i. L'intégrale de Lebesgue de F(x) plus E est noté par _E∫ ƒ (x) dx. La fonction F(x) n'est pas intégrable de Riemann. Par conséquent, l'intégrale de Lebesgue est la reformulation de l'intégrale de Riemann, qui comporte certaines restrictions sur les fonctions à intégrer..