Comment multiplier les vecteurs
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Nous allons examiner trois façons de multiplier les vecteurs. Dans un premier temps, nous examinerons la multiplication scalaire de vecteurs. Ensuite, nous examinerons la multiplication de deux vecteurs. Nous allons apprendre deux manières différentes de multiplier des vecteurs, en utilisant le produit scalaire et le produit croisé..
Comment multiplier des vecteurs par un scalaire
Lorsque vous multipliez un vecteur par un scalaire, chaque composant du vecteur est multiplié par le scalaire..
Supposons que nous ayons un vecteur 
, qui doit être multiplié par le scalaire 
. Ensuite, le produit entre le vecteur et le scalaire s’ecrit: 
. Si 
, alors la multiplication augmenterait la longueur de par un facteur . Si 
, puis, en plus d'augmenter l'ampleur de par un facteur , la direction du vecteur serait également inversée.
En ce qui concerne les composants vectoriels, chaque composant est multiplié par le scalaire. Par exemple, si un vecteur 
, puis 
.
Exemple
Le vecteur momentum 
d'un objet est donné par 
, où 
est la masse de l'objet et 
est le vecteur vitesse. Pour un objet d'une masse de 2 kg ayant une vitesse de 
Mme-1, trouver le vecteur momentum.
L'élan est 
kg m s-1.
Comment trouver le produit scalaire de deux vecteurs
le scalaire produit (également connu sous le nom de produit scalaire) Entre deux vecteurs et 
est écrit comme 
. Ceci est défini comme,
où 
est l'angle entre les deux vecteurs s'ils sont placés bout à bout comme indiqué ci-dessous:
Le produit scalaire entre deux vecteurs donne une quantité scalaire. Géométriquement, cette quantité est égale au produit de la magnitude de la projection d'un vecteur sur l'autre et de la magnitude du vecteur "autre":
En utilisant les composants des vecteurs le long du plan cartésien, nous pourrions obtenir le produit scalaire comme suit. Si le vecteur 
et 
, alors le produit scalaire
Exemple
Vecteur 
et 
. Trouver 
.
Exemple
Le travail fait 
par une force 
, quand il provoque un déplacement 
pour un objet est donné par, 
. Supposons une force de 
N fait bouger un corps dont le déplacement sous la force est est 
m. Trouvez le travail effectué par la force.
J.
Exemple
Trouvez l'angle entre les deux vecteurs 
et 
.
De la définition du produit scalaire, 
. Ici nous avons 
et 
.
ensuite,
.
Si deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre, l'angle entre eux est 90o. Dans ce cas, 
et donc le produit scalaire devient 0. En particulier, pour les vecteurs unitaires dans le système de coordonnées cartésiennes, nous notons que,
Pour les vecteurs parallèles, l'angle entre eux est 0o. Dans ce cas, 
et le produit scalaire devient simplement le produit de la grandeur des vecteurs. En particulier,
Le produit scalaire est commutatif. c'est à dire. 
.
Le produit scalaire est également distributif. c'est à dire. 
.
Comment trouver le produit croisé de deux vecteurs
le traverser produit (également connu sous le nom de produit vectoriel) Entre deux vecteurs et est écrit comme 
. Ceci est défini comme,
Le produit vectoriel ou le produit croisé, contrairement au produit scalaire, donne un vecteur comme réponse. La formule ci-dessus donne la magnitude du vecteur. Pour obtenir le direction de ce vecteur, imaginez en tournant un tournevis de la direction du premier vecteur vers la direction du second vecteur. La direction dans laquelle le tournevis "va" est la direction du produit vectoriel.
Par exemple, dans le diagramme ci-dessus, le produit vectoriel est pointera dans la page, alors que 
indiquera de la page.
Clairement, alors, produit vectoriel non commutatif. Plutôt, 
.
Le produit vectoriel entre deux vecteurs parallèles est 0. En effet, l'angle entre eux est 00, faire le 
.
En ce qui concerne les vecteurs unitaires, nous avons alors
Nous avons aussi
En ce qui concerne les composants, le produit vectoriel est donné par,
Exemple
Trouver le produit croisé entre les vecteurs 
et 
.
.
