Différence entre nombres rationnels et irrationnels

Le terme «nombres» évoque ce que l’on qualifie généralement de valeurs entières positives supérieures à zéro. Autres classes de nombres comprennent nombres entiers et fractions, complexe et nombres réels et aussi valeurs entières négatives.

En élargissant davantage la classification des nombres, nous rencontrons rationnel et irrationnel Nombres. Un nombre rationnel est un nombre qui peut être écrit sous forme de fraction. En d'autres termes, le nombre rationnel peut être écrit sous la forme d'un rapport de deux nombres.

Considérons, par exemple, le nombre 6. Il peut être écrit comme le rapport de deux nombres à savoir. 6 et 1, menant au ratio 6/1. également, 2/3, qui est écrit comme une fraction, est un nombre rationnel.

Nous pouvons donc définir un nombre rationnel, sous la forme d’un nombre écrit sous la forme d’une fraction, le numérateur (le nombre en haut) et le dénominateur (le nombre en bas) étant des nombres entiers. Par définition, chaque nombre entier est donc aussi un nombre rationnel.

Un ratio de deux grands nombres tels que (129 367 871)/(547,724,863) constituerait également un exemple de nombre rationnel pour la simple raison que le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

Inversement, tout nombre qui ne peut être exprimé sous forme de fraction ou de ratio est qualifié d'irrationnel. L’exemple de nombre irrationnel le plus souvent cité est √2 (1.414213…). Un autre exemple populaire de nombre irrationnel est la constante numérique π (3.141592… ).

Un nombre irrationnel peut être écrit sous forme décimale, mais pas sous forme de fraction. Les nombres irrationnels ne sont pas souvent utilisés dans la vie quotidienne bien qu'ils existent sur la droite numérique. Il y a un nombre infini de nombres irrationnels entre 0 et 1 sur la droite numérique. Un nombre irrationnel a une infinité de chiffres non répétitifs à droite du point décimal.

Notez que la valeur souvent citée de 22/7 pour la constante π est en fait une seule des valeurs de π. Par définition, la circonférence d'un cercle divisé par deux fois son rayon est la valeur de π. Cela conduit à plusieurs valeurs de π, y compris, mais sans s'y limiter, 333/106, 355/113 et ainsi de suite1.

Seules les racines carrées des nombres carrés; c'est-à-dire les racines carrées du carrés parfaits sont rationnels.

√1= 1 (Rationnel)

√2 (Irrationnel)

√3 (Irrationnel)

√4 = 2 (Rationnel)

√5, √6, √7, √8 (Irrationnel)

√9 = 3 (Rationnel) et ainsi de suite.

En outre, nous notons que seuls les nles racines de nLes pouvoirs sont rationnels. Ainsi, le 6ème racine de 64 est rationnel, parce que 64 est un 6ème pouvoir, à savoir le 6ème le pouvoir de 2. Mais le 6ème racine de 63 est irrationnel. 63 n'est pas parfait 6th Puissance.

Inévitablement, la représentation décimale des irrationnels entre en image et pose des résultats intéressants.

Quand on exprime un rationnel nombre sous forme décimale, soit la décimale sera exact (un péché 1/5= 0,20) ou ce sera inexact (un péché, 1/3 0,3333). Dans les deux cas, il y aura un schéma prévisible de chiffres. Notez que lorsqu'un irrationnel nombre est exprimé sous forme décimale, alors clairement il sera inexact, parce que sinon, le nombre serait rationnel.

De plus, il n’y aura pas de schéma prévisible de chiffres. Par exemple,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Maintenant, avec des nombres rationnels, nous rencontrons parfois 1/11 = 0,0909090.

L’utilisation du signe égal (=) et trois points (ellipse) implique que, s'il n'est pas possible d'exprimer 1/11 exactement sous forme décimale, on peut toujours l'approcher avec autant de chiffres décimaux qu'il est permis de s'approcher de 1/11.

Ainsi, la forme décimale de 1/11 est considéré comme inexact. De même, la forme décimale de  ¼ qui est 0.25, est exact.

Venant à la forme décimale pour les nombres irrationnels, ils seront toujours inexacts. Continuant avec l'exemple de √2, quand on écrit √2 = 1.41421356237… (Notez l’utilisation des points de suspension), cela implique immédiatement qu’aucune décimale pour √2 sera exact. De plus, il n’y aura pas de schéma prévisible de chiffres. En utilisant des concepts de méthodes numériques, encore une fois, nous pouvons rationnellement approximer pour autant de chiffres décimaux que nous sommes proches de √2.

Toute note sur des nombres rationnels et irrationnels ne peut se terminer sans la preuve obligatoire de la raison pour laquelle √2 est irrationnel. Ce faisant, nous élucidons également l’exemple classique de preuve par contradiction.

Supposons que √2 soit rationnel. Cela nous amène à le représenter comme un rapport de deux nombres entiers, disons p et q.

√2 = p / q

Il va sans dire, p et q n'ont pas de facteurs communs, car s'il y en avait, nous les aurions supprimés du numérateur et du dénominateur.

La quadrature des deux côtés de l’équation, nous nous retrouvons avec,

2 = p2 / q2

Cela peut être écrit commodément comme,

p2 = 2q2

La dernière équation suggère que p2 est même. Ceci n'est possible que si p lui-même est égal. Cela implique que p2 est divisible par 4. Par conséquent, q2 et par conséquent q doit être égal. Alors p et q sont tous les deux identiques, ce qui est en contradiction avec notre hypothèse initiale selon laquelle ils n’ont aucun facteur commun. Ainsi, √2 ne peut pas être rationnel. Q.E.D.