Différence entre les intégrales définies et indéfinies

Le calcul est une branche importante des mathématiques et la différenciation joue un rôle essentiel dans le calcul. Le processus inverse de la différenciation est appelé intégration et l'inverse, l'intégrale, ou simplement l'inverse de la différenciation donne une intégrale. Sur la base des résultats obtenus, les intégrales sont divisées en deux classes, à savoir les intégrales définies et indéfinies..

Intégrale définie

L'intégrale définie de f (x) est un NOMBRE et représente l'aire sous la courbe f (x) de x = a à x = b.

Une intégrale définie a des limites supérieure et inférieure sur les intégrales, et on l'appelle définitive car, à la fin du problème, nous avons un nombre - c'est une réponse définitive.

Intégrale indéfinie

L’intégrale indéfinie de f (x) est une fonction et répond à la question «Quelle fonction, quand différenciée, donne f (x)?”

Avec une intégrale indéfinie, il n'y a pas de limites supérieure et inférieure à l'intégrale ici, et nous obtiendrons une réponse qui a toujours Xest dedans et aura aussi une constante (généralement désignée par C) dedans.

L'intégrale indéfinie donne généralement une solution générale à l'équation différentielle.

L'intégrale indéfinie est plutôt une forme générale d'intégration et peut être interprétée comme l'anti-dérivé de la fonction considérée.

Suppose la différenciation de la fonction F conduit à une autre fonction F, et l'intégration de f donne l'intégrale. Symboliquement, ceci est écrit comme

F (x) = ∫ƒ (x) dx

ou

F = ∫ƒ dx

où les deux F et ƒ sont des fonctions de X, et F est différentiable. Dans la forme ci-dessus, on l'appelle une intégrale de Reimann et la fonction résultante accompagne une constante arbitraire.

Une intégrale indéfinie produit souvent une famille de fonctions; donc, l'intégrale est indéfinie.

Les intégrales et les processus d'intégration sont au cœur de la résolution des équations différentielles. Cependant, contrairement aux étapes de la différenciation, les étapes de l'intégration ne suivent pas toujours une routine claire et standard. Parfois, nous voyons que la solution ne peut pas être explicitement exprimée en termes de fonction élémentaire. Dans ce cas, la solution analytique est souvent donnée sous la forme d'une intégrale indéfinie.

Théorème fondamental du calcul

L'intégrale définie et l'intégrale indéfinie sont liées par le théorème fondamental du calcul de la manière suivante: Intégrale définie, trouvez le intégrale indéfinie (également connu sous le nom d'anti-dérivé) de la fonction et évaluer aux points finaux x = a et x = b.

La différence entre les intégrales définies et indéfinies apparaîtra une fois que nous aurons évalué les intégrales pour la même fonction..

Considérons l'intégrale suivante:

D'ACCORD. Faisons les deux et voyons la différence.

Pour l'intégration, nous devons en ajouter un à l'index, ce qui nous conduit à l'expression suivante:

À ce moment du temps C est simplement une constante pour nous. Des informations supplémentaires sont nécessaires dans le problème pour déterminer la valeur précise de C.

Évaluons la même intégrale sous sa forme définie, c’est-à-dire avec les limites supérieure et inférieure incluses.

Graphiquement, nous calculons maintenant l'aire sous la courbe f (x) = y³ entre y = 2 et y = 3.

La première étape de cette évaluation est la même que l’évaluation intégrale indéfinie. La seule différence est que cette fois-ci, nous n’ajoutons pas la constante C.

L'expression dans ce cas ressemble à ceci:

Ceci est à son tour conduit à:

Essentiellement, nous avons substitué 3 puis 2 dans l'expression et obtenu la différence entre eux.

C’est la valeur définitive par opposition à l’utilisation de la constante C plus tôt.

Examinons plus en détail le facteur constant (en ce qui concerne l'intégrale indéfinie).

Si le différentiel de y³ est 3y², puis

∫3y²dy = y³

toutefois, 3y² pourrait être la différence de nombreuses expressions dont certaines incluent y³-5, y³+7, etc… Cela implique que l'inversion n'est pas unique car la constante est inexpliquée pendant l'opération.

Donc en général, 3y² est le différentiel de y³+C où C est une constante. Incidemment, C est connu comme le 'constante d'intégration'.

Nous écrivons ceci comme:

∫ 3y².dx = y³ + C

Les techniques d'intégration pour une intégrale indéfinie, telle que la consultation de table ou l'intégration Risch, peuvent ajouter de nouvelles discontinuités au cours du processus d'intégration. Ces nouvelles discontinuités apparaissent car les anti-dérivés peuvent nécessiter l’introduction de logarithmes complexes..

Les logarithmes complexes ont une discontinuité de saut lorsque l'argument croise l'axe réel négatif, et les algorithmes d'intégration ne peuvent parfois pas trouver une représentation où ces sauts s'annulent.

Si l'intégrale définie est évaluée en calculant d'abord une intégrale indéfinie, puis en substituant les limites d'intégration dans le résultat, nous devons être conscients qu'une intégration indéfinie peut produire des discontinuités. Si tel est le cas, nous devons également étudier les discontinuités dans l'intervalle d'intégration..