Différence entre dérivé et différentiel

Dérivée vs différentielle
 

Dans le calcul différentiel, la dérivée et la différentielle d'une fonction sont étroitement liées mais ont une signification très différente et servent à représenter deux objets mathématiques importants liés à des fonctions différentiables..

Quel est dérivé?

Le dérivé d'une fonction mesure le taux auquel la valeur de la fonction change lorsque ses entrées changent. Dans les fonctions à variables multiples, le changement de la valeur de la fonction dépend du sens du changement des valeurs des variables indépendantes. Par conséquent, dans de tels cas, une direction spécifique est choisie et la fonction est différenciée dans cette direction particulière. Cette dérivée s'appelle la dérivée directionnelle. Les dérivés partiels sont un type particulier de dérivés directionnels.

Dérivée d'une fonction à valeur vectorielle F peut être défini comme la limite partout où il existe finement. Comme mentionné précédemment, cela nous donne le taux d'augmentation de la fonction F dans la direction du vecteur vous. Dans le cas d’une fonction à valeur unique, ceci se réduit à la définition bien connue de la dérivée,  

Par exemple, est partout différentiable, et le dérivé est égal à la limite, , qui est égal à . Les dérivés de fonctions telles que   existe partout. Ils sont respectivement égaux aux fonctions .                                                                                

Ceci est connu comme le premier dérivé. Habituellement, le premier dérivé de la fonction F est noté par F ⁽¹⁾. Maintenant, en utilisant cette notation, il est possible de définir des dérivées d'ordre supérieur. est la dérivée directionnelle du second ordre, et désignant le n^th dérivé par F ⁽ⁿ⁾ pour chaque n, ,  définit le n^th dérivé.

Quel est différentiel?

Le différentiel d'une fonction représente la modification de la fonction par rapport aux modifications de la ou des variables indépendantes. Dans la notation habituelle, pour une fonction donnée F d'une seule variable X, le différentiel total d'ordre 1 df est donné par, . Cela signifie que pour un changement infinitésimal de X(c'est-à-dire dX), il y aura un  F ⁽¹⁾(X)réX changer F.

En utilisant des limites, on peut aboutir à cette définition comme suit. Supposer ∆X est le changement de X à un point arbitraire X etF est le changement correspondant dans la fonction F. On peut montrer quef = f ⁽¹⁾(X)X+ ε, où ϵ est l'erreur. Maintenant, la limitex →0^ΔF/_ΔX= F ⁽¹⁾(X) (en utilisant la définition de dérivé décrite précédemment) et doncx →0^ε/_ΔX= 0. Par conséquent, il est possible de conclure que,x →0ε = 0. Maintenant, en notant ∆x →0F comme dF etx →0X comme dX la définition du différentiel est rigoureusement obtenue. 

Par exemple, le différentiel de la fonction est .

Dans le cas de fonctions de deux variables ou plus, le différentiel total d'une fonction est défini comme la somme des différentiels dans les directions de chacune des variables indépendantes. Mathématiquement, on peut dire que .