Différence entre la fonction discrète et la fonction continue

Fonction discrète vs fonction continue

Les fonctions constituent l'une des classes les plus importantes d'objets mathématiques, qui sont largement utilisées dans presque tous les sous-domaines des mathématiques. Comme leur nom l'indique, les fonctions discrètes et les fonctions continues sont deux types de fonctions spéciales.

Une fonction est une relation entre deux ensembles définie de manière à ce que pour chaque élément du premier ensemble, la valeur qui lui correspond dans le deuxième ensemble soit unique. Laisser F être une fonction définie à partir de l'ensemble UNE en ensemble B. Puis pour chaque xϵ A, le symbole F(x) dénote la valeur unique dans l'ensemble B cela correspond à x. C'est ce qu'on appelle l'image de x sous F. Par conséquent, une relation F de A en B est une fonction, si et seulement si pour, chaque xϵ A et y ϵ A; si x = y puis F(X) = f(y). L'ensemble A s'appelle le domaine de la fonction F, et c'est l'ensemble dans lequel la fonction est définie.

Par exemple, considérons la relation F de R en R défini par F(x) = x + 2 pour chaque xϵ A. C'est une fonction dont le domaine est R, comme pour chaque nombre réel x et y, x = y implique F(x) = x + 2 = y + 2 = F(y). Mais la relation g de N en N défini par g(x) = a, où 'a' est un facteur premier de x n'est pas une fonction comme g(6) = 3, ainsi que g(6) = 2.

Qu'est-ce qu'une fonction discrète?

Une fonction discrète est une fonction dont le domaine est au plus dénombrable. Cela signifie simplement qu'il est possible de créer une liste comprenant tous les éléments du domaine..

Tout ensemble fini est au plus dénombrable. L'ensemble des nombres naturels et l'ensemble des nombres rationnels sont des exemples pour au plus des ensembles infinis dénombrables. L'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres irrationnels ne sont pas au plus dénombrables. Les deux ensembles sont indénombrables. Cela signifie qu'il est impossible de faire une liste qui comprend tous les éléments de ces ensembles.

Une des fonctions discrètes les plus courantes est la fonction factorielle. F : N U 0 → N défini récursivement par F(n) = nF(n-1) pour chaque n ≥ 1 et F(0) = 1 s'appelle la fonction factorielle. Observez que son domaine N U 0 est au plus dénombrable.

Qu'est-ce qu'une fonction continue?

Laisser F être une fonction telle que pour chaque k dans le domaine de F, F(x) →F(k) comme x → k. ensuite Fest une fonction continue. Cela signifie qu'il est possible de faire F(x) arbitrairement proche de F(k) en faisant x suffisamment proche de k pour chaque k dans le domaine de F.

Considérons la fonction F(x) = x + 2 sur R. On peut voir que x → k, x + 2 → k + 2, c'est-à-dire F(x) →F(k). Donc, F est une fonction continue. Maintenant, considérez g sur des nombres réels positifs g(x) = 1 si x> 0 et g(x) = 0 si x = 0. Cette fonction n'est donc pas continue car la limite de g(x) n’existe pas (et n’est donc pas égal à g(0)) comme x → 0.