Différence entre intégration et sommation

Intégration vs sommation
 

Au-dessus des études secondaires, l'intégration et la sommation se retrouvent souvent dans les opérations mathématiques. Ils sont apparemment utilisés comme différents outils et dans différentes situations, mais ils partagent une relation très étroite.

En savoir plus sur Summation

La sommation est l'opération consistant à ajouter une séquence de nombres et l'opération est souvent désignée par la lettre grecque de majuscule sigma. Il est utilisé pour abréger la somme et égal à la somme / total de la séquence. Ils sont souvent utilisés pour représenter les séries, qui sont essentiellement des séquences infinies résumées. Ils peuvent également être utilisés pour indiquer la somme de vecteurs, matrices ou polynômes.

La sommation est généralement effectuée pour une plage de valeurs pouvant être représentée par un terme général, tel qu'une série ayant un terme commun. Le point de départ et le point final de la sommation sont respectivement appelés limite inférieure et limite supérieure de la sommation..

Par exemple, la somme de la séquence a₁, une₂, une₃, une₄, … , une_n est un₁ + une₂ + une₃ +… + Un_n qui peut être facilement représenté en utilisant la notation de sommation commeⁿ_{i = 1} une_je; on l'appelle l'indice de sommation.

De nombreuses variantes sont utilisées pour la somme basée sur l'application. Dans certains cas, la limite supérieure et la limite inférieure peuvent être données sous forme d'intervalle ou de plage, tel que_1≤i≤100 une_je et_{i∈ [1 100]} une_je. Ou il peut être donné comme un ensemble de nombres comme_I∈P une_je , où P est un ensemble défini.

Dans certains cas, deux signes sigma ou plus peuvent être utilisés, mais ils peuvent être généralisés comme suit; Σ_j Σ_k une_jk =_{j, k} une_jk.

En outre, la sommation suit de nombreuses règles algébriques. Puisque l'opération incorporée est l'addition, bon nombre des règles communes de l'algèbre peuvent être appliquées aux sommes elles-mêmes et aux termes individuels décrits par la somme..

En savoir plus sur l'intégration

L'intégration est définie comme le processus inverse de la différenciation. Mais dans sa vue géométrique, il peut également être considéré comme l'aire délimitée par la courbe de la fonction et par l'axe. Par conséquent, le calcul de l'aire donne la valeur d'une intégrale définie, comme indiqué dans le diagramme..

Source de l'image: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

La valeur de l'intégrale définie est en réalité la somme des petites bandes à l'intérieur de la courbe et de l'axe. L'aire de chaque bande est la hauteur × largeur au point sur l'axe considéré. La largeur est une valeur que nous pouvons choisir, disons ∆x. Et la hauteur est approximativement la valeur de la fonction au point considéré, disons F(X_je). D'après le diagramme, il est évident que plus les bandes sont petites, mieux elles s'insèrent dans la zone délimitée, d'où une meilleure approximation de la valeur..

Donc, en général, l'intégrale définie je, entre les points a et b (c'est-à-dire dans l'intervalle [a, b] où aje ≅ F(X₁) X + F(X₂) X + ⋯ + F(X_n) ∆x, où n est le nombre de bandes (n = (b-a) / ∆x). Cette somme de la zone peut être facilement représentée en utilisant la notation de somme comme je ∑ⁿ_{i = 1} F(X_je) X. Puisque l'approximation est meilleure lorsque ∆x est plus petit, nous pouvons calculer la valeur lorsque ∆x → 0. Par conséquent, il est raisonnable de dire je = lim_{→x → 0} Σⁿ_{i = 1} F(X_je) X.

En général, à partir du concept ci-dessus, nous pouvons choisir le x en fonction de l'intervalle considéré indexé par i (choisir la largeur de l'aire en fonction de la position). Ensuite, nous obtenons

je= lim_{→x → 0} Σⁿ_{i = 1} F(X_je) X_je = _une∫^b F(x) dx

Ceci est connu sous le nom de Reimann Integral de la fonction F(x) dans l'intervalle [a, b]. Dans ce cas, a et b sont connus comme la limite supérieure et la limite inférieure de l'intégrale. Reimann Integral est une forme de base de toutes les méthodes d'intégration.

Par essence, l’intégration est la somme de la surface lorsque la largeur du rectangle est infinitésimale.

Quelle est la différence entre intégration et sommation?

• La somme consiste à additionner une suite de nombres. Habituellement, la somme est donnée sous cette formeⁿ_{i = 1} une_je lorsque les termes de la séquence ont un motif et peuvent être exprimés à l'aide d'un terme général.

• L’intégration est fondamentalement l’aire délimitée par la courbe de la fonction, l’axe et les limites supérieure et inférieure. Cette zone peut être donnée comme la somme de zones beaucoup plus petites comprises dans la zone délimitée.

• La sommation implique les valeurs discrètes avec les limites supérieure et inférieure, tandis que l'intégration implique des valeurs continues..

• L’intégration peut être interprétée comme une forme spéciale de sommation.

• Dans les méthodes de calcul numérique, l'intégration est toujours effectuée sous forme de somme.