Différence entre la fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité

Fonction de distribution de probabilité vs fonction de densité de probabilité

La probabilité est la probabilité qu'un événement se produise. Cette idée est très courante et utilisée fréquemment dans la vie quotidienne lorsque nous évaluons nos opportunités, nos transactions et bien d’autres choses. L'extension de ce concept simple à un plus grand nombre d'événements est un peu plus difficile. Par exemple, nous ne pouvons pas facilement déterminer les chances de gagner à la loterie, mais il est pratique, plutôt intuitif, de dire qu’il est probable qu’un sur six obtienne le numéro six dans un dé..

Lorsque le nombre d'événements pouvant se produire augmente ou que le nombre de possibilités individuelles est grand, cette idée assez simple de probabilité échoue. Par conséquent, il faut lui donner une solide définition mathématique avant d'aborder des problèmes de complexité accrue.

Lorsque le nombre d'événements pouvant se dérouler dans une même situation est important, il est impossible de considérer chaque événement individuellement comme dans l'exemple des dés lancés. Par conséquent, l'ensemble des événements est résumé en introduisant le concept de variable aléatoire. C'est une variable qui peut assumer les valeurs de différents événements dans cette situation particulière (ou dans l'espace échantillon). Cela donne un sens mathématique aux événements simples de la situation et une manière mathématique de traiter l'événement. Plus précisément, une variable aléatoire est une fonction de valeur réelle sur les éléments de l'espace échantillon. Les variables aléatoires peuvent être discrètes ou continues. Ils sont généralement désignés par les lettres majuscules de l'alphabet anglais.

La fonction de distribution de probabilité (ou simplement la distribution de probabilité) est une fonction qui attribue les valeurs de probabilité à chaque événement. c'est-à-dire qu'il fournit une relation aux probabilités pour les valeurs que la variable aléatoire peut prendre. La fonction de distribution de probabilité est définie pour les variables aléatoires discrètes.

La fonction de densité de probabilité est l'équivalent de la fonction de distribution de probabilité pour les variables aléatoires continues. Elle donne la probabilité qu'une certaine variable aléatoire prenne une certaine valeur..

Si X est une variable aléatoire discrète, la fonction étant donnée comme F(X) = P(X = X) pour chaque X dans la gamme de X est appelée la fonction de distribution de probabilité. Une fonction peut servir de fonction de distribution de probabilité si et seulement si elle remplit les conditions suivantes.

1. F(X) ≥ 0

2. F(X) = 1

Une fonction F(X) qui est définie sur l'ensemble des nombres réels est appelée fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire continue X, si et seulement si,

P(une ≤ X ≤ b) = _une∫^b F(X) dx pour toutes constantes réelles une et b.

La fonction de densité de probabilité doit également remplir les conditions suivantes.

1. F(X) ≥ 0 pour tous X: -∞ < X < +∞

2. _-∞∫^+∞ F(X) dx = 1

La fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité sont utilisées pour représenter la distribution des probabilités sur l'espace échantillon. Communément, ceux-ci sont appelés distributions de probabilité.

Pour la modélisation statistique, les fonctions de densité de probabilité standard et les fonctions de distribution de probabilité sont dérivées. La distribution normale et la distribution normale standard sont des exemples de distributions de probabilités continues. La distribution binomiale et la distribution de Poisson sont des exemples de distributions de probabilité discrètes.

Quelle est la différence entre la distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité?

• La fonction de distribution de probabilité et la fonction de densité de probabilité sont des fonctions définies dans l'espace d'échantillonnage, permettant d'affecter la valeur de probabilité pertinente à chaque élément.

• Les fonctions de distribution de probabilité sont définies pour les variables aléatoires discrètes, tandis que les fonctions de densité de probabilité sont définies pour les variables aléatoires continues..

• La distribution des valeurs de probabilité (c'est-à-dire les distributions de probabilité) est mieux représentée par la fonction de densité de probabilité et la fonction de distribution de probabilité.

• La fonction de distribution de probabilité peut être représentée sous forme de valeurs dans un tableau, mais cela n’est pas possible pour la fonction de densité de probabilité car la variable est continue..

• Lorsqu’elle est tracée, la fonction de distribution de probabilité donne un diagramme à barres tandis que la fonction de densité de probabilité donne une courbe..

• La hauteur / longueur des barres de la fonction de distribution de probabilité doit être égale à 1, tandis que l'aire sous la courbe de la fonction de densité de probabilité doit être égale à 1..

• Dans les deux cas, toutes les valeurs de la fonction doivent être non négatives..