Différence entre les variables aléatoires et la distribution de probabilité

Variables aléatoires vs distribution de probabilité

Les expériences statistiques sont des expériences aléatoires qui peuvent être répétées indéfiniment avec un ensemble de résultats connu. Les variables aléatoires et les distributions de probabilité sont associées à de telles expériences. Pour chaque variable aléatoire, il existe une distribution de probabilité associée définie par une fonction appelée fonction de distribution cumulative..

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire?

Une variable aléatoire est une fonction qui attribue des valeurs numériques aux résultats d'une expérience statistique. En d’autres termes, c’est une fonction définie à partir de l’espace échantillon d’une expérience statistique dans l’ensemble des nombres réels.

Par exemple, considérons une expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de monnaie deux fois. Les résultats possibles sont HH, HT, TH et TT (têtes H, contes T). Soit X le nombre de têtes observées dans l’expérience. Ensuite, X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2 et il s’agit d’une variable aléatoire. Ici, la variable aléatoire X mappera l'ensemble S = HH, HT, TH, TT (l'espace échantillon) à l'ensemble 0, 1, 2 de telle sorte que HH soit mappé sur 2, HT et TH. sont mappés sur 1 et TT sur 0. En notation de fonction, cela peut être écrit ainsi: X: S → R où X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 et X ( TT) = 0.

Il existe deux types de variables aléatoires: discrète et continue. Par conséquent, le nombre de valeurs possibles qu'une variable aléatoire peut supposer est au plus dénombrable ou non. Dans l'exemple précédent, la variable aléatoire X est une variable aléatoire discrète puisque 0, 1, 2 est un ensemble fini. Examinons maintenant l’expérience statistique consistant à déterminer le poids des élèves dans une classe. Soit Y la variable aléatoire définie comme le poids d’un élève. Y peut prendre toute valeur réelle dans un intervalle spécifique. Donc, Y est une variable aléatoire continue.

Qu'est-ce qu'une distribution de probabilité?

La distribution de probabilité est une fonction qui décrit la probabilité qu'une variable aléatoire prenne certaines valeurs.

Une fonction appelée fonction de distribution cumulative (F) peut être définie à partir de l’ensemble des nombres réels jusqu’à l’ensemble des nombres réels sous la forme F (x) = P (X ≤ x) (la probabilité que X soit inférieur ou égal à x) pendant chaque résultat possible x. Maintenant, la fonction de distribution cumulative de X dans le premier exemple peut s’écrire comme F (a) = 0, si un<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

Dans le cas de variables aléatoires discrètes, une fonction peut être définie de l'ensemble des résultats possibles à l'ensemble des nombres réels de telle sorte que ƒ (x) = P (X = x) (la probabilité que X soit égal à x) pour chaque résultat possible x. Cette fonction particulière ƒ s'appelle la fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire X. On peut maintenant écrire la fonction de masse de probabilité de X dans le premier exemple particulier comme suit: ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 et ƒ (x) = 0 sinon. Ainsi, la fonction de masse de probabilité ainsi que la fonction de distribution cumulative décriront la distribution de probabilité de X dans le premier exemple..

Dans le cas de variables aléatoires continues, une fonction appelée fonction de densité de probabilité (ƒ) peut être définie par ƒ (x) = dF (x) / dx pour chaque x, où F est la fonction de distribution cumulative de la variable aléatoire continue. Il est facile de voir que cette fonction satisfait ∫ƒ (x) dx = 1. La fonction de densité de probabilité, ainsi que la fonction de distribution cumulative, décrivent la distribution de probabilité d’une variable aléatoire continue. Par exemple, la distribution normale (qui est une distribution de probabilité continue) est décrite à l'aide de la fonction de densité de probabilité ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²) e ^ ([(x-µ)]²/ (2σ²)).