Comment calculer la probabilité binomiale

La distribution binomiale est l’une des distributions de probabilité élémentaires pour les variables aléatoires discrètes utilisées dans la théorie des probabilités et les statistiques. Son nom lui est attribué car il possède le coefficient binomial impliqué dans chaque calcul de probabilité. Il pèse le nombre de combinaisons possibles pour chaque configuration.

Considérons une expérience statistique avec chaque événement ayant deux possibilités (succès ou échec) et p probabilité de succès. De plus, chaque événement est indépendant l’un de l’autre. Un seul événement de cette nature est connu sous le nom de procès Bernoulli. Les distributions binomiales sont appliquées à des séquences successives d’essais de Bernoulli. Voyons maintenant la méthode pour trouver la probabilité binomiale.

Comment trouver la probabilité binomiale

 Si X est le nombre de succès de n essais de Bernoulli indépendants (en quantité finie), avec probabilité de succès p, alors la probabilité de X le succès de l'expérience est donné par,

ⁿC_X est appelé le coefficient binomial.

X est dit binomialement distribué avec des paramètres p et n, souvent désigné par la notation Bin (n, p).

La moyenne et la variance de la distribution binomiale sont données en fonction des paramètres n et p. 

La forme de la courbe de distribution binomiale dépend également des paramètres n et p. Quand n est petit, la distribution est à peu près symétrique pour les valeurs pGamme ≈.5 et très asymétrique quand p est dans la plage 0 ou 1. Quand n est grande, la distribution devient plus lisse et symétrique avec un biais notable lorsque p est dans la plage extrême 0 ou 1. Dans le diagramme suivant, l’axe des abscisses représente le nombre d’essais et l’axe des ordonnées la probabilité. 

  Comment calculer la probabilité binomiale - Exemples

1. Si une pièce biaisée est lancée 5 fois successivement et que les chances de réussite sont de 0,3, trouvez les probabilités dans les cas suivants.

une) P (X = 5) b) P (X) ≤ 4 c) P (X) < 4

d) Moyenne de la distribution

e) Variance de la distribution

D'après les détails de l'expérience, on peut déduire que les distributions de probabilités sont de nature binomiale avec 5 essais successifs et indépendants avec une probabilité de succès de 0,3. Par conséquent, n = 5 et p = 0,3.. 

une) P (X = 5) = probabilité d'obtenir des succès (têtes) pour les cinq essais

     P (X = 5) = ⁵C₅ (0,3)⁵ (1 - 0,3)^{5 - 5} = 1 × (0,3)⁵ × (1) = 0,00243

b) P (X) ≤ 4 = probabilité d'obtenir quatre succès ou moins au cours de l'expérience 

      P (X) ≤ 4 = 1-P (X = 5) = 1-0.00243 = 0,99757

c)  P (X) < 4 = probability of getting less than four successes

      P (X) < 4 = [P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)] = 1- [P(X=4) + P(X=5)]

Pour calculer la probabilité binomiale d’obtenir seulement quatre succès (P (X) = 4), nous avons,

   P (X = 4) = ⁵C₄ (0,3)⁴ (1 - 0,3)^5-4 = 5 × 0,0081 × (0,7) = 0,00563

   P (X) < 4 = 1 - 0.00563 - 0.00243 = 0.99194

ré)  Moyenne = np = 5 (0,3) = 1,5

e) Variance = np (1 - p) = 5 (0,3) (1-0,3) = 1,05