Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical

Dans cet article, nous verrons comment résoudre les problèmes de mouvements circulaires verticaux. Les principes utilisés pour résoudre ces problèmes sont les mêmes que ceux utilisés pour résoudre des problèmes impliquant une accélération centripète et une force centripète. Contrairement aux cercles horizontaux, les forces agissant sur les cercles verticaux varient au fur et à mesure de leur déplacement. Nous allons considérer deux cas pour les objets se déplaçant dans des cercles verticaux: lorsque les objets se déplacent à vitesse constante et quand ils se déplacent à des vitesses variables.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical pour les objets se déplaçant à une vitesse constante

Si un objet se déplace à une vitesse constante dans un cercle vertical, la force centripète sur l’objet, reste le même. Par exemple, pensons à un objet avec une masse qui est balancé dans un cercle vertical en l'attachant à une chaîne de longueur . Ici, alors, est également le rayon du mouvement circulaire. Il y aura une tension agissant toujours le long de la ficelle, pointé vers le centre du cercle. Mais la valeur de cette tension variera constamment, comme nous le verrons plus loin..

Mouvement circulaire vertical d'un objet à vitesse constante v

Considérons l'objet quand il se trouve en haut et en bas de son tracé circulaire. Le poids de l'objet, , et la force centripète (pointée au centre du cercle) reste la même.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Tension d'objet à vitesse constante en haut et en bas

La tension est maximale lorsque l'objet est en bas. C’est là que la chaîne risque le plus de se rompre.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical pour des objets voyageant à une vitesse variable

Pour ces cas, nous considérons le changement d'énergie de l'objet lorsqu'il se déplace autour du cercle. Au sommet, l'objet a le plus d'énergie potentielle. Lorsque l'objet descend, il perd de l'énergie potentielle, qui est convertie en énergie cinétique. Cela signifie que l'objet accélère à mesure qu'il descend.

Supposons qu'un objet attaché à une chaîne se déplace dans un cercle vertical avec une vitesse variable telle que, en haut de l'objet juste assez de vitesse maintenir sa trajectoire circulaire. Ci-dessous, nous allons dériver des expressions pour la vitesse minimale de cet objet en haut, la vitesse maximale (quand il est en bas) et la tension de la corde quand elle est en bas.

Au sommet, la force centripète est à la baisse et  . L'objet aura juste assez de vitesse pour maintenir sa trajectoire circulaire si la chaîne est sur le point de se relâcher quand elle est au sommet. Pour ce cas, la tension de la corde est presque 0. En insérant ceci dans l'équation de la force centripète, nous aurons . ensuite, .

Lorsque l'objet est en bas, son énergie cinétique est supérieure. Le gain en énergie cinétique est égal à la perte en énergie potentielle. L'objet tombe à une hauteur de  quand il atteint le bas, de sorte que le gain d'énergie cinétique est . ensuite,

.

Depuis notre , on a

 Ensuite, nous regardons la tension de la corde en bas. Ici, la force centripète est dirigée vers le haut. Nous avons alors

. En remplaçant , on a .

Pour simplifier davantage, on se retrouve avec:

.

Problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple

Balancer des seaux d'eau au-dessus

Un seau d'eau peut être basculé au-dessus de la tête sans que l'eau ne tombe si elle est déplacée à une vitesse suffisamment grande. Le poids  de l'eau tente de tirer l'eau vers le bas; cependant, la force centripète  essaie de garder l'objet dans le chemin circulaire. La force centripète elle-même est composée du poids plus la force de réaction normale agissant sur l'eau. L’eau restera sur le chemin circulaire aussi longtemps que .

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Faire pivoter un seau d'eau

Si la vitesse est faible, telle que , alors tout le poids n'est pas «épuisé» pour créer la force centripète. L’accélération vers le bas est supérieure à l’accélération centripète, de sorte que l’eau tombera.

Le même principe est utilisé pour empêcher les objets de tomber lorsqu'ils passent par des mouvements de boucle, comme dans les manèges, par exemple, dans les montagnes russes et dans les spectacles aériens où les pilotes de cascadeurs pilotent leurs avions en cercles verticaux, les avions voyageant à l'envers bas »quand ils atteignent le sommet.

 Exemple 1

Le London Eye est l'une des plus grandes roues de la Terre. Il a un diamètre de 120 m et tourne à raison d'environ 1 rotation complète toutes les 30 minutes. Étant donné qu'il se déplace à une vitesse constante, Trouvez

a) la force centripète sur un passager d'une masse de 65 kg

b) la force de réaction du siège lorsque le passager est au sommet du cercle

c) la force de réaction du siège lorsque le passager est au bas du cercle

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple 1

Remarque: dans cet exemple particulier, la force de réaction change très peu, car la vitesse angulaire est assez lente. Cependant, notez que les expressions utilisées pour calculer les forces de réaction en haut et en bas sont différentes. Cela signifie que les forces de réaction seraient considérablement différentes lorsque des vitesses angulaires plus grandes sont impliquées. La plus grande force de réaction se ferait sentir au bas du cercle.

Problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple - The London Eye

Exemple 2

Un sac de farine d'une masse de 0,80 kg est pivoté en cercle vertical par une ficelle de 0,70 m de long. La vitesse du sac varie en fonction du cercle..

a) Montrer qu’une vitesse minimale de 3,2 m s^-1 est suffisant pour maintenir le sac dans l'orbite circulaire.

b) Calcule la tension dans la ficelle lorsque le sac se trouve en haut du cercle.

c) Trouver la vitesse du sac à un instant où la corde est descendue d'un angle de 65 degrés^o du haut.

Comment résoudre les problèmes de mouvement circulaire vertical - Exemple 2