Différence entre associatif et commutatif
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Associatif vs commutatif
Dans notre vie quotidienne, nous devons utiliser des chiffres chaque fois que nous avons besoin d’obtenir une mesure de quelque chose. À l'épicerie, à la station-service et même dans la cuisine, nous devons additionner, soustraire et multiplier deux ou plusieurs quantités. De notre pratique, nous effectuons ces calculs sans effort. Nous ne remarquons jamais ni ne nous demandons pourquoi nous effectuons ces opérations de cette façon Ou pourquoi ces calculs ne peuvent pas être effectués d'une manière différente. La réponse est cachée dans la façon dont ces opérations sont définies dans le champ mathématique de l'algèbre.
En algèbre, une opération impliquant deux quantités (telle que l'addition) est définie comme une opération binaire. Plus précisément, il s’agit d’une opération entre deux éléments d’un ensemble et ces éléments sont appelés "opérandes". De nombreuses opérations en mathématiques, y compris les opérations arithmétiques mentionnées plus haut et celles rencontrées dans la théorie des ensembles, l'algèbre linéaire et la logique mathématique peuvent être définies comme des opérations binaires..
Il existe un ensemble de règles régissant une opération binaire spécifique. Les propriétés associatives et commutatives sont deux propriétés fondamentales des opérations binaires.
En savoir plus sur la propriété commutative
Supposons qu'une opération binaire, désignée par le symbole, soit effectuée sur les éléments UNE et B. Si l'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat de l'opération, l'opération est dite commutative. c'est-à-dire si UNE ⊗ B = B ⊗ UNE alors l'opération est commutative.
L'addition et la multiplication d'opérations arithmétiques sont commutatives. L'ordre des nombres ajoutés ou multipliés n'affecte pas la réponse finale:
UNE + B = B + UNE ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
UNE × B = B × UNE ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Mais dans le cas d'une division, le changement dans l'ordre donne l'inverse de l'autre, et dans la soustraction, le changement donne le négatif de l'autre. Donc,
UNE - B ≠ B - UNE ⇒ 4 - 5 = -1 et 5 - 4 = 1
UNE ÷ B ≠ B ÷ UNE ⇒ 4 5 = 0,8 et 5 4 = 1,25 [dans ce cas UNE,B 1 et 0]
En fait, la soustraction est dite anti-commutative; où UNE - B = - (B - UNE).
De plus, les connecteurs logiques, la conjonction, la disjonction, l’implication et l’équivalence sont également commutatifs. Les fonctions de vérité sont également commutatives. L'union et l'intersection des opérations définies sont commutatives. L'addition et le produit scalaire des vecteurs sont également commutatifs.
Mais la soustraction vectorielle et le produit vectoriel ne sont pas commutatifs (le produit vectoriel de deux vecteurs est anti-commutatif). L'addition de la matrice est commutative, mais la multiplication et la soustraction ne sont pas commutatives. (La multiplication de deux matrices peut être commutative dans des cas particuliers, tels que la multiplication d'une matrice avec son inverse ou la matrice d'identité; mais il est clair que les matrices ne sont pas commutatives si les matrices n'ont pas la même taille)
En savoir plus sur la propriété associative
Une opération binaire est dite associative si l'ordre d'exécution n'affecte pas le résultat lorsque deux occurrences ou plus de l'opérateur sont présentes. Considérons les éléments UN B et C et l'opération binaire. L'opération ⊗ est dite associative si
UNE ⊗ B ⊗ C = UNE (B ⊗ C) = (UNE ⊗ B) C
A partir des fonctions arithmétiques de base, seuls l'addition et la multiplication sont associatives.
UNE + (B + C) = (UNE + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
UNE × (B × C) = (UNE × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
La soustraction et la division ne sont pas associatives;
UNE - (B - C) (UNE - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 et (5 - 4) - 3 = -2
UNE (B ÷ C) (UNE ÷ B) C ⇒ 4 (5 ÷ 3) = 2,4 et (5 4) 3 = 0,2666
La disjonction, la conjonction et l'équivalence des connecteurs logiques sont associatives, de même que l'union et l'intersection des opérations définies. La matrice et l'addition de vecteur sont associatives. Le produit scalaire des vecteurs est associatif, mais le produit vectoriel ne l’est pas. La multiplication matricielle n'est associative que dans des circonstances spéciales.
Quelle est la différence entre la propriété commutative et associative?
• La propriété associative et la propriété commutative sont des propriétés spéciales des opérations binaires. Certaines les satisfont et d'autres non..
• Ces propriétés peuvent être vues dans de nombreuses formes d'opérations algébriques et d'autres opérations binaires en mathématiques, telles que l'intersection et l'union dans la théorie des ensembles ou les connectives logiques..
• La différence entre commutative et associative réside dans le fait que la propriété commutative déclare que l'ordre des éléments ne modifie pas le résultat final, tandis que la propriété associative indique que l'ordre dans lequel l'opération est effectuée n'affecte pas la réponse finale..
