Comment trouver le centre de la messe

Centre de masse - Définition

Le point auquel la masse entière d'un corps ou d'un système peut être considéré comme concentré est appelé centre de masse. En d'autres termes, c'est le point où la masse totale du corps ou du système a le même effet lorsqu'elle est concentrée à une masse ponctuelle.

Centre de calcul de la messe

Un corps rigide a une distribution de masse continue. Un système de masses peut avoir une distribution de masse continue ou discrète. Pour mieux comprendre le concept, considérons un système de deux masses ponctuelles m₁ et M₂ positionné à (x₁,y₁) et (x₂,y₂).

Le centre de masse du système sera donné par les coordonnées (x_CM,y_CM) obtenue par la formule suivante. 

Si les coordonnées z sont également données, les coordonnées z du centre de masse peuvent être obtenues de la même manière. Le centre de masse divise intérieurement la distance entre les deux points et la distance entre CM et chaque masse (r) est inversement proportionnelle à la masse (m). c'est-à-dire r∝1 / m. Par conséquent, la relation suivante est valable pour tous les systèmes de masse à deux points. r₁/ r₂ = m₂/ m₁. Le résultat pour deux masses ponctuelles peut être étendu à de nombreux systèmes de particules comme suit.Si les coordonnées de la particule m_je sont donnés par (x_je,y_je ) alors les coordonnées du centre de masse du système de nombreuses particules sont données par, 

 

Une distribution de masse continue peut être approchée comme une collection de masses infinitésimales. Par conséquent, en prenant les cas limites des résultats ci-dessus, on obtient les coordonnées du centre de masse.

Si l'objet a une distribution de masse uniforme (densité uniforme) et un objet géométrique régulier, le centre de masse se situe au centre géométrique de l'objet. Il convient également de noter que centre de masse (CM) et centre de gravité (CG) sont utilisés comme synonymes dans la plupart des situations. Cependant, ils sont différents et ne coïncident que lorsque le champ gravitationnel agissant sur le corps ou le système est uniforme. Sinon, le centre de gravité et le centre de gravité sont séparés.

Cela est vrai pour tous les objets dans le champ gravitationnel de la Terre. Cependant, la différence entre les emplacements du centre de gravité et du centre de gravité est trop petite pour les petits objets, mais pour les objets volumineux, en particulier les objets de grande taille comme une roquette sur sa rampe de lancement, il existe une séparation importante entre le centre de gravité. et centre de gravité.

Comment trouver le centre de la masse - Exemple

Exemple de centre de messe 01. Les masses m, 3m, 4m et 6m sont localisées aux coordonnées (2, -6), (4,0), (- 1,3) et (-4, -4) respectivement. Trouver le centre de masse du système. 

Exemple de centre de messe 02. La Lune orbite à 385000 km du centre de la Terre. Si la masse de la lune est 7.3477 × 10²² kg ou 0,012300 de la masse de la Terre, trouver la distance au centre de la masse de la Terre et du système lunaire, du centre de la Terre.

De la relation r₁/ r₂ = m₂/ m₁ on peut en déduire que r_Terre/ r_lune = m_lune/ m_Terre . Étant donné que l’orbite de la lune est de 385 000 km et compte tenu des ratios disponibles, la distance entre le centre de masse et le centre de la Terre est

r_Terre/ (r_lune+r_Terre ) × 385000 km = m_lune/ (m_Terre+m_lune ) × 385000 km.

La substitution des valeurs et la simplification donnent 0,012300 / (1 + 0,012300) × 385000 km = 4677,96 km (ici la masse de la lune est prise comme une fraction de la masse de la terre, soit m_lune/ m_Terre = .0123)

La séparation est significative (1,25% de l’orbite de la lune) car la masse de la lune est considérable, mais pour les objets plus petits comme une voiture, le rapport m_voiture/ m_Terre est zéro pour tous les calculs pratiques.